Analysis Beispiele

$y = \sin (\sin (x))$ , $(2 π, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2 π$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 1.3

Stelle die Faktoren von $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ um.

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2 π$ .

$\cos (2 π) \cos (\sin (2 π))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (0) \cos (\sin (2 π))$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1 \cos (\sin (2 π))$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $\cos (\sin (2 π))$ mit $1$ .

$\cos (\sin (2 π))$

Schritt 1.5.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\sin (0))$

Schritt 1.5.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\cos (0)$

Schritt 1.5.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(2 π, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (2 π))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 2 π)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 2 π)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x - 2 π$ mit $1$ .

$y = x - 2 π$

Schritt 3