Analysis Beispiele

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{\tan (x)}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{\tan (x)}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{\tan (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{\tan (x)}

$\frac{\sin (0)}{\tan (x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe

\tan (x)

$\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{\sin (0)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}

$\frac{\sin (0)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

\sin (0) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\sin (0) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Schreibe

\sin (0)

$\sin (0)$ als einen Bruch mit dem Nenner

1

$1$ .

\frac{\sin (0)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\sin (0)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Dividiere

\sin (0)

$\sin (0)$ durch

1

$1$ .

\sin (0) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\sin (0) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere

\sin (0)

$\sin (0)$ und

\frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

\frac{\sin (0) \cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\sin (0) \cos (x)}{\sin (x)}$

\frac{\sin (0) \cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\sin (0) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.5

Der genau Wert von

\sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

\frac{0 \cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{0 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere

0

$0$ mit

\cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{0}{\sin (x)}

$\frac{0}{\sin (x)}$

Schritt 3.7

Dividiere

0

$0$ durch

\sin (x)

$\sin (x)$ .

0

$0$

0

$0$