Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (2 \cdot 0)}{\sin (5 x)}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (2 \cdot 0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}}{\sin (5 x)}$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}}{\sin (5 x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$ mit $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0) \sin (5 x)}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{\cos (2 \cdot 0) \sin (5 x)}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{\cos (0) \sin (5 x)}$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{\cos (0) \sin (5 x)}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 \sin (5 x)}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 x)}$

Schritt 3.8

Dividiere $0$ durch $\sin (5 x)$ .

$0$