Analysis Beispiele

$\ln (\ln (x^{2}))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\ln (x^{2}) = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 1.2.1.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = e$ , $x = x^{2}$ und $y = 0$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 0$

Schritt 1.2.1.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$e^{0} = x^{2}$

Schritt 1.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = e^{0}$ um.

$x^{2} = e^{0}$

Schritt 1.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 1.2.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.2.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 1, x = - 1$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 1, x = - 1$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \ln (\ln ({(- 2)}^{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \ln (\ln (4))$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\ln (4))$ .

$\ln (\ln (4))$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (\ln (4))$ nach Dezimal.

$= 0.32663425$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 3$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (\ln ({(- 3)}^{2}))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \ln (\ln (9))$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\ln (9))$ .

$\ln (\ln (9))$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (\ln (9))$ nach Dezimal.

$= 0.787195$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 4$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \ln (\ln ({(- 4)}^{2}))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \ln (\ln (16))$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (\ln (16))$ .

$\ln (\ln (16))$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (\ln (16))$ nach Dezimal.

$= 1.01978144$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 1, x = - 1$ und den Punkten $(- 2, 0.32663425), (- 3, 0.787195), (- 4, 1.01978144)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 1, x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 1.02 \\ - 3 & 0.787 \\ - 2 & 0.327 \end{array}$

Schritt 6