Analysis Beispiele

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Schritt 1.2

Löse $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $2 e^{3 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $2 e^{3 x}$ von $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Schritt 1.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{3 x})$ durch Herausziehen von $3 x$ aus dem Logarithmus.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$3 x = 0$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $2 e^{3 (0)} + 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Schritt 1.3.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 1.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2 + 1$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = 3$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 3)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $0$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $3 e^{3 x}$ von $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Schritt 3.7

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.7.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.7.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.7.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3.7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 3.7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Schritt 3.7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 3.9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Schritt 3.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Schritt 3.11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Berechne $x$ bei $0$ und $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Schritt 3.11.2

Berechne $e^{u}$ bei $0$ und $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Schritt 3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 3.11.3.1

Addiere $0$ und $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Schritt 3.11.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Schritt 3.12.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Schritt 3.12.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Schritt 3.12.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

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Schritt 3.12.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Schritt 3.12.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Schritt 3.12.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 3.12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 3.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 3.12.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 e^{3 x}$ von $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Schritt 5.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Schritt 5.5

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.5.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.5.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 5.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 5.5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 6$

Schritt 5.5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Schritt 5.5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Schritt 5.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Schritt 5.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Schritt 5.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Schritt 5.9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Schritt 5.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.10.1

Berechne $e^{u}$ bei $6$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Schritt 5.10.2

Berechne $- x$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 5.10.3

Vereinfache.

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Schritt 5.10.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 5.10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Schritt 5.10.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Schritt 5.10.3.4

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Schritt 5.11

Vereinfache.

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Schritt 5.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Schritt 5.11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Schritt 5.11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Schritt 5.11.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Schritt 5.11.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.11.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.11.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Schritt 5.11.5.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Schritt 5.11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Schritt 6

Addiere die Flächen $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.3

Um $\frac{e^{6} - 5}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{e^{6} - 5}{3}$ mit $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.5.2

Multipliziere $e^{6}$ mit $e^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Schritt 6.5.2.2

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Schritt 7