Analysis Beispiele

$\log_{b} (216) = 3$

Schritt 1

Schreibe $\log_{b} (216) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Schritt 2

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $216$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{3} - 216 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = b$ und $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Schritt 2.4

Setze $b - 6$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $b - 6$ gleich $0$ .

$b - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 6$

Schritt 2.5

Setze $b^{2} + 6 b + 36$ gleich $0$ und löse nach $b$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $b^{2} + 6 b + 36$ gleich $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ nach $b$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 36$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $144$ von $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 108$ als $- 1 (108)$ um.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (108)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ um.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.7

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ wahr machen.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$