Analysis Beispiele

$3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $3^{2 x}$ als ${(3^{x})}^{2}$ um.

${(3^{x})}^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = 3^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $3^{x}$ .

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $3^{x}$ .

$(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3^{x} - 9 = 0$

$3^{x} - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $3^{x} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3^{x} - 9$ gleich $0$ .

$3^{x} - 9 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3^{x} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x} = 9$

Schritt 3.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{2}$

Schritt 3.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 4

Setze $3^{x} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3^{x} - 3$ gleich $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3^{x} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x} = 3$

Schritt 4.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{1}$

Schritt 4.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$