Analysis Beispiele

$\log_{3} (x^{2}) = 2 \log_{3} (4) - 4 \log_{3} (5)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (4) - 4 \log_{3} (5)$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) = \log_{3} (4^{2}) - 4 \log_{3} (5)$

Schritt 1.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\log_{3} (x^{2}) = \log_{3} (16) - 4 \log_{3} (5)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache $- 4 \log_{3} (5)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) = \log_{3} (16) - \log_{3} (5^{4})$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\log_{3} (x^{2}) = \log_{3} (16) - \log_{3} (625)$

Schritt 1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (x^{2}) = \log_{3} (\frac{16}{625})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} = \frac{16}{625}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{625}}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16}{625}}$ .

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{16}{625}}$ als $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{625}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{625}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{625}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{625}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{25^{2}}}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{4}{25}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{4}{25}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{4}{25}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{4}{25}, - \frac{4}{25}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4}{25}, - \frac{4}{25}$

Dezimalform:

$x = 0.16, - 0.16$