Analysis Beispiele

$\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(1 - x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (1 (2 - x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\ln (2 - x - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + 1 x^{2}) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\ln (2 - 3 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 - 3 x + x^{2} = x + 14$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 - 3 x + x^{2} - x = 14$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$2 + x^{2} - 4 x = 14$

Schritt 3.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 + x^{2} - 4 x - 14 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $14$ von $2$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$ nicht erfüllen.

$x = - 2$