Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{2 x^{2} - 2}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0 - 3 \cdot 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.3

Addiere $1 + 0$ und $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 - 2 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Schritt 8.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$