Analysis Beispiele

$\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) (x + 4)) = \log (20)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (x + 4) + 3 (x + 4)) = \log (20)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 (x + 4)) = \log (20)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} + 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\log (x^{2} + 4 x + 3 x + 12) = \log (20)$

Schritt 1.3.2

Addiere $4 x$ und $3 x$ .

$\log (x^{2} + 7 x + 12) = \log (20)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + 7 x + 12 = 20$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 7 x + 12 - 20 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $20$ von $12$ .

$x^{2} + 7 x - 8 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2} + 7 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $7$ ist.

$- 1, 8$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 8) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.6

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 8$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$ nicht erfüllen.

$x = 1$