Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$ um.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x} - e^{- x} = y \cdot 2$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$e^{x} - e^{- x} = 2 y$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Schritt 4.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u - u^{- 1} = 2 y$

Schritt 4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 2 y$

Schritt 4.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.4.2

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} = 2 y$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} = 2 y$ mit $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

Schritt 4.4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 1 = 2 y u$

Schritt 4.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.4.3.1

Subtrahiere $2 y u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 1 - 2 y u = 0$

Schritt 4.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 y$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.3.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 y$ an.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.4.3.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 4$ heraus.

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Schritt 4.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.5

Schreibe $4 (y^{2} + 1)$ als $2^{2} (y^{2} + 1^{2})$ um.

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Schritt 4.4.3.4.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$

Schritt 4.4.3.4.3

Vereinfache $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}$

Schritt 4.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

Schritt 4.5

Setze $y + \sqrt{y^{2} + 1}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

Schritt 4.6

Löse $y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ .

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Schritt 4.6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$ um.

$e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

Schritt 4.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.7

Setze $y - \sqrt{y^{2} + 1}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

Schritt 4.8

Löse $y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ .

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Schritt 4.8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$ um.

$e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

Schritt 4.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.8.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.8.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Schritt 4.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$