Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{t - \sqrt{t}}{t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{t - t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t - t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{1} - t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.3

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $- t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{t^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2.4

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)}{t^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 3

Bringe $t^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} - 1) t^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 4

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $t^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{3}} t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.3

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.4

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 2 + 3}{6}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 4.7

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}} (t^{\frac{1}{2}} - 1)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{\frac{1}{6}}$ und $g (t) = t^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$t^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} - 1] + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{\frac{1}{2}} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 11.3

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{\frac{1}{6}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0) + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Addiere $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$t^{\frac{1}{6}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 13.2

Kombiniere $t^{\frac{1}{6}}$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{6}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 13.3

Bringe $t^{\frac{1}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{6}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{- \frac{1}{6}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1

Bewege $t^{- \frac{1}{6}}$ .

$\frac{1}{2 (t^{- \frac{1}{6}} t^{\frac{1}{2}})} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 t^{\frac{- 1 + 3}{6}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.6

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{2}{6}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 14.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2 t^{\frac{2 (1)}{6}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 14.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})$

Schritt 16

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})$

Schritt 17

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})$

Schritt 18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}})$

Schritt 19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{\frac{1 - 6}{6}})$

Schritt 19.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{\frac{- 5}{6}})$

Schritt 20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{6} t^{- \frac{5}{6}})$

Schritt 21

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $t^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{t^{- \frac{5}{6}}}{6}$

Schritt 22

Bringe $t^{- \frac{5}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}}$

Schritt 23

Um $(t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 24

Kombiniere $(t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}}$ und $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{3}}} + \frac{(t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}} (2 t^{\frac{1}{3}})}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}} (2 t^{\frac{1}{3}})}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 26

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6 t^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{5}{6}}} t^{\frac{1}{3}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 27

Kombiniere $t^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{2}{6 t^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{6 t^{\frac{5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 28

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 28.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{3}}}{6 t^{\frac{5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 28.2

Bringe $t^{\frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{5}{6}} t^{- \frac{1}{3}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29

Multipliziere $t^{\frac{5}{6}}$ mit $t^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 29.1

Bewege $t^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 (t^{- \frac{1}{3}} t^{\frac{5}{6}})}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{- \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.3

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 29.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{- \frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{- 2 + 5}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.6

Addiere $- 2$ und $5$ .

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{3}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 29.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{3 (1)}{6}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 29.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 29.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2}{6 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 30

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2 (1)}{6 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 31

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 31.1

Faktorisiere $2$ aus $6 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2 (1)}{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 31.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{2 \cdot 1}{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 31.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + (t^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32

Vereinfache.

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Schritt 32.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 32.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 32.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 32.2.1.1.1

Faktorisiere $t^{\frac{1}{2}}$ aus $3 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 3} - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 3} - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2.1.2

Schreibe $- 1 \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 + 1}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.3

Vereine die Terme

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Schritt 32.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{2 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.3.2

Kombinieren.

$\frac{3 (\frac{4}{3} - \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}})}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (\frac{4}{3}) + 3 (- \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}})}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 32.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\frac{4}{3}) + 3 (- \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}})}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 + 3 (- \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}})}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 + \frac{- 3}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.7

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{4 + \frac{3 \cdot - 1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 32.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{4 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (t^{\frac{1}{2}})}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 + \frac{3 \cdot - 1}{3 t^{\frac{1}{2}}}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 + \frac{- 1}{t^{\frac{1}{2}}}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}}{3 (2 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}}{6 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 32.4.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}}{6 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{2}}}}{6 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 t^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 32.6

Multipliziere $\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 t^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 32.6.1

Mutltipliziere $\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{6 t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 32.6.2

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 32.6.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{1}{2}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.3

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.4

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 32.6.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{2 + 3}{6}} \cdot 6}$

Schritt 32.6.2.7

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{t^{\frac{5}{6}} \cdot 6}$

Schritt 32.7

Bringe $6$ auf die linke Seite von $t^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} - 1}{6 t^{\frac{5}{6}}}$