Analysis Beispiele

$\frac{1}{x} - \ln (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$