Analysis Beispiele

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \sin (x)$ und $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + 1 (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $1 + \sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

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Schritt 6.3.1.1

Addiere $- \sin (x) \cos (x)$ und $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0 + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Addiere $1 \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{1 \cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$