Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ um.

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \ln (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- \frac{e^{x}}{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ heraus.

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2.2

Um $\ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.5

Kombinieren.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Schritt 5.7

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ um.

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$