Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$