Analysis Beispiele

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3$ und $g (x) = x^{3}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x$ .

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ heraus.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ heraus.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Schritt 8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Schritt 9

Kombiniere $9$ und $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Schritt 10.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Schritt 10.3.1.3

Multipliziere $9 (- 3 \cdot - 3)$ .

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Schritt 10.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Schritt 10.3.1.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $27 x^{2}$ von $18 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x^{2} + 81$ heraus.

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Schritt 10.4.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

Schritt 10.4.1.2

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

Schritt 10.4.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ heraus.

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

Schritt 10.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

Schritt 10.4.3

Stelle $- x^{2}$ und $3^{2}$ um.

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

Schritt 10.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$