Analysis Beispiele

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Schritt 2

Schreibe $\sin (2 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}]$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Schritt 3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sec (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (2 x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 7.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.4.2

Dividiere $2 \sin (x)$ durch $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.6

Multipliziere $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.2.6.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.6.2

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.6.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.6.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Schritt 8.2.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 8.2.8

Multipliziere $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.2.8.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Schritt 8.2.8.2

Kombiniere $\frac{2}{\cos (x)}$ und $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.4

Dividiere $2 (\sin (x))$ durch $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.5

Separiere Brüche.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.6

Schreibe $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.3.7

Schreibe $\cos (2 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.3.8

Vereinfache.

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Schritt 8.3.8.1

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Schritt 8.3.8.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Schritt 8.3.9

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$