Analysis Beispiele

$\sin^{2} (3 - x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (3 - x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 - x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 - x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 - x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 - x)$ .

$2 \sin (3 - x) \frac{d}{d x} [\sin (3 - x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 - x$ .

$2 \sin (3 - x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 - x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 - x$ .

$2 \sin (3 - x) (\cos (3 - x) \frac{d}{d x} [3 - x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \sin (3 - x) \cos (3 - x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \sin (3 - x) \cos (3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \sin (3 - x) \cos (3 - x) \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (3 - x) \cos (3 - x) (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (3 - x) \cos (3 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (3 - x) \cos (3 - x) \cdot 1$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (3 - x) \cos (3 - x)$

Schritt 3.7.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \sin (3 - x) \cos (3 - x)$ um.

$- 2 \cos (3 - x) \sin (3 - x)$