Analysis Beispiele

$- 3 \sec (x) \sin (x)$

Schritt 1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sec (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 (\sin (x) \sec (x) \tan (x))$

Schritt 5.2

Entferne die Klammern.

$- 3 \sec (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 3 \cos (x) \sec (x) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$- 3 (\cos (x) \sec (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.1.2

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.1.3

Schreibe $- 3 \cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 3 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- 3 \cdot 1 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 3 - 3 \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 3 + \frac{- 3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 - \frac{3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Schritt 5.4.6

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$- 3 - \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 5.4.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$- 3 - \frac{3 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 5.4.8

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 3 - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.9

Multipliziere $- \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 5.4.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- 3 - \frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.4.9.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.4.9.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.4.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 - \frac{3 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.4.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.4.9.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Schritt 5.4.9.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Schritt 5.4.9.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.9.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere mit $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Schritt 5.5.3

Separiere Brüche.

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)})$

Schritt 5.5.4

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \tan^{2} (x))$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 3 - (\frac{3}{1} \tan^{2} (x))$

Schritt 5.5.6

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 3 - (3 \tan^{2} (x))$

Schritt 5.5.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 - 3 \tan^{2} (x)$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$- 3 (1) - 3 \tan^{2} (x)$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \tan^{2} (x)$ heraus.

$- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$ heraus.

$- 3 (1 + \tan^{2} (x))$

Schritt 5.9

Ordne Terme um.

$- 3 (\tan^{2} (x) + 1)$

Schritt 5.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 3 \sec^{2} (x)$