Analysis Beispiele

$x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{7} \ln (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.5

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{7}$ heraus.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.6.2.5

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

Schritt 3.2.2

Addiere $7 x^{6}$ und $8 x^{6}$ .

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$