Analysis Beispiele

$y = {(4 x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 2)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(4 x - 2)}^{2}$ als $(4 x - 2) (4 x - 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [(4 x - 2) (4 x - 2)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(4 x - 2) (4 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 2) - 2 (4 x - 2)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x - 2)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 8 x + 4]$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 16 x + 4]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} - 16 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.8

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$32 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$32 x - 16 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$32 x - 16 + 0$

Schritt 3.12

Addiere $32 x - 16$ und $0$ .

$32 x - 16$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 32 x - 16$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 16$