Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5}{7 x^{2} - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} - 5$ und $g (x) = 7 x^{2} - 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $7 x^{2} - 2$ .

$\frac{6 \cdot (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + 0)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $14 x$ und $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(6 (7 x^{2}) + 6 \cdot - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x + (- 14 (3 x^{2}) - 14 \cdot - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 (7 (x \cdot x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (7 (x^{1} x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 (7 x^{1 + 2}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 (7 x^{3}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{42 x^{3} + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x \cdot x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x^{1} x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{1 + 2}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{3}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 14$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 5$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x$ .

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $42 x^{3}$ von $42 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x + 0 + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 12 x$ und $0$ .

$\frac{- 12 x + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Addiere $- 12 x$ und $70 x$ .

$\frac{58 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$