Analysis Beispiele

$4 t^{3} - \sqrt{t} + 2$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t^{3} - \sqrt{t} + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [4 t^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t^{3}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 t^{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 t^{2} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 t^{2} - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 t^{2} - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 3.10

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [2]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 4.2

Addiere $12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$