Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{7} (x^{- \frac{1}{2}})}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

Schritt 1

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

Schritt 3.2

Bewege $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{2 + \sqrt{7 x}} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}})}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}})}$

Schritt 3.4

Potenziere $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1})}$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{7 x}$ um.

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Schritt 3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ als ${(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {({(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{1}}$

Schritt 3.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$

Schritt 4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$ mit $\frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})} \cdot \frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$ mit $\frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x}) (2 - \sqrt{7 x})}$

Schritt 6.2

Stelle um.

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Schritt 6.2.1

Bewege $2 + \sqrt{7 x}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} ((2 + \sqrt{7 x}) (2 - \sqrt{7 x}))}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 2 \sqrt{7 x} + \sqrt{7 x} \cdot 2 - {\sqrt{7 x}}^{2})}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{7 x}}^{2}$ als $7 x$ um.

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Schritt 6.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x}$ als ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {({(7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 6.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 6.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 6.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 6.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{1})}$

Schritt 6.2.3.1.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - (7 x))}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \cdot 2 + \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (- \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 6.4

Stelle um.

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Schritt 6.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} + \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (- \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \sqrt{7 x}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Multipliziere $- \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \sqrt{7 x}$ .

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Schritt 7.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7 x (7 (2 + \sqrt{7 x}))}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{49 x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 7.2

Schreibe $49 x (2 + \sqrt{7 x})$ als $7^{2} (x (2 + \sqrt{7 x}))$ um.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7^{2} x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 7.2.2

Füge Klammern hinzu.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7^{2} (x (2 + \sqrt{7 x}))}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - (7 \sqrt{x (2 + \sqrt{7 x})})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - 7 \sqrt{x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$