Analysis Beispiele

$\frac{a x + b}{c x + d}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = a x + b$ und $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x + b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Schritt 3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c x + d$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Schritt 5.1

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c x$ nach $x$ gleich $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $d$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 6.2

Addiere $c$ und $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

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Schritt 7.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $c x a$ und $- (a x) c$ neu an.

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $a c x$ von $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Addiere $d a$ und $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$