Analysis Beispiele

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ gleich $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ ist mit $f (c) = 1 + c e^{x}$ und $g (c) = 1 - c e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + c e^{x}$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $c e^{x}$ nach $c$ gleich $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - c e^{x}$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

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Schritt 5.1

Da $- e^{x}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $- c e^{x}$ nach $c$ gleich $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4

Multipliziere $- 1 (- e^{x})$ .

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Schritt 7.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.6

Multipliziere $- c e^{2 x} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.6.2

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ .

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Schritt 7.4.2.1

Addiere $- c e^{2 x}$ und $c e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

Schritt 7.6

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ um.

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$