Analysis Beispiele

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $x$ nach $t$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(2 t + 1)}^{2}$ als $(2 t + 1) (2 t + 1)$ um.

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(2 t + 1) (2 t + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $2 t$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 t$ und $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t^{2} + 4 t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t^{2}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.5

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.8

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.9

Addiere $8 t + 4$ und $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Schritt 3.5.11

Mutltipliziere $4 t^{2} + 4 t + 1$ mit $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2.6

Addiere $8 t^{2}$ und $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Schritt 3.6.2.7

Addiere $4 t$ und $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Schritt 5

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$