Analysis Beispiele

$\frac{y^{5} - 2 y}{y^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{5} - 2 y$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{5}$ heraus.

$\int \frac{y \cdot y^{4} - 2 y}{y^{3}} d y$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$\int \frac{y \cdot y^{4} + y \cdot - 2}{y^{3}} d y$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{4} + y \cdot - 2$ heraus.

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y^{3}} d y$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y \cdot y^{2}} d y$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y \cdot y^{2}} d y$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{y^{4} - 2}{y^{2}} d y$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (y^{4} - 2) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{4} - 2) y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (y^{4} - 2) y^{- 2} d y$

Schritt 2

Multipliziere $(y^{4} - 2) y^{- 2}$ .

$\int y^{4} y^{- 2} - 2 y^{- 2} d y$

Schritt 3

Multipliziere $y^{4}$ mit $y^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{4 - 2} - 2 y^{- 2} d y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\int y^{2} - 2 y^{- 2} d y$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{2} d y + \int - 2 y^{- 2} d y$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C + \int - 2 y^{- 2} d y$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C - 2 \int y^{- 2} d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C - 2 (- y^{- 1} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} - 2 (- y^{- 1}) + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{- 1} + C$