Analysis Beispiele

Bestimme das Integral Quadratwurzel von 1-x^2
Schritt 1
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 2
Vereinfache Terme.
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Schritt 2.1
Vereinfache .
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Schritt 2.1.1
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2
Vereinfache.
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Schritt 2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.4
Addiere und .
Schritt 3
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 6
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 7
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 7.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 7.1.1
Differenziere .
Schritt 7.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 7.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 7.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 8
Kombiniere und .
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Das Integral von nach ist .
Schritt 11
Vereinfache.
Schritt 12
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 12.1
Ersetze alle durch .
Schritt 12.2
Ersetze alle durch .
Schritt 12.3
Ersetze alle durch .
Schritt 13
Vereinfache.
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Schritt 13.1
Kombiniere und .
Schritt 13.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 13.3
Kombiniere und .
Schritt 13.4
Multipliziere .
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Schritt 13.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
Stelle die Terme um.