Analysis Beispiele

$12 x {(x^{2} + 3)}^{5}$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x {(x^{2} + 3)}^{5} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 3$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ als $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ um.

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{6} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $u^{6}$ mit $1$ .

$u^{6} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

${(x^{2} + 3)}^{6} + C$