Analysis Beispiele

$e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}])$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x (- y^{- 2}))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x (- \frac{1}{y^{2}}))$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (- \frac{x}{y^{2}})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $e^{\frac{x}{y}}$ und $\frac{x}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$ um.

$- \frac{x e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$