Analysis Beispiele

$y^{\frac{3}{2}} (y + c e^{y})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ und $g (y) = y + c e^{y}$ .

$y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d y} [y + c e^{y}] + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + c e^{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [c e^{y}]$ .

$y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [c e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d y} [c e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3

Da $c$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $c e^{y}$ nach $y$ gleich $c \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d y} [e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3

Vereine die Terme

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $y^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y (3 y^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 (y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.7

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10.3.8

Kombiniere $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $c$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{y}$

Schritt 10.3.9

Kombiniere $\frac{3 y^{\frac{1}{2}} c}{2}$ und $e^{y}$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Schritt 10.3.10

Um $y^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Schritt 10.3.11

Kombiniere $y^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Schritt 10.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Schritt 10.3.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{2 \cdot y^{\frac{3}{2}} + 3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Schritt 10.3.14

Addiere $2 y^{\frac{3}{2}}$ und $3 y^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$e^{y} y^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2} + \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$