Analysis Beispiele

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

Schritt 1

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Schritt 1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

Schritt 1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

Schritt 1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

Schritt 1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x^{4} + 9)}^{8}$ .

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

Schritt 2

Da $4 d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4 d$ aus dem Integral.

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x^{4} + 9$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x^{4} + 9$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{4} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 3.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 4

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${u_{1}}^{8}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ und $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $d$ .

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = {u_{1}}^{8}$ und $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Schritt 8

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Schritt 8.2

Kombiniere ${u_{1}}^{8}$ und $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Schritt 8.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Schritt 8.5

Kombiniere $8$ und $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Schritt 8.7

Kombiniere $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ und ${u_{1}}^{7}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

Schritt 9

Da $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ aus dem Integral.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{7}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

Schritt 11.2

Schreibe $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ als $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ um.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Schritt 11.3

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Schritt 11.3.1

Stelle die Terme um.

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Schritt 11.3.2

Subtrahiere $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ von $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ .

$d \cdot 0 + C$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $d$ mit $0$ .

$0 + C$

Schritt 11.3.4

Addiere $0$ und $C$ .

$C$