Analysis Beispiele

${(4 z + e^{- z^{2}})}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = z^{5}$ und $g (z) = 4 z + e^{- z^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 z + e^{- z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d z} [4 z + e^{- z^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d z} [4 z + e^{- z^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 z + e^{- z^{2}}$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} \frac{d}{d z} [4 z + e^{- z^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 z + e^{- z^{2}}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4 z$ nach $z$ gleich $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = e^{z}$ und $g (z) = - z^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- z^{2}$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- z^{2}$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- z^{2}$ nach $z$ gleich $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} (- \frac{d}{d z} [z^{2}]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} (- (2 z)))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} (- 2 z))$