Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 4

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.4

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{4 x}$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ heraus.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.2.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $e^{4 x} x$ heraus.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

Schritt 9.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Schritt 9.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x \ln (x)$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

Schritt 9.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Schritt 9.10

Schreibe $- (2 x \ln (x) - 1)$ als $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ um.

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Schritt 9.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$