Analysis Beispiele

$y = x^{1 - x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{1 - x}$ als $e^{\ln (x^{1 - x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{1 - x})$ durch Herausziehen von $1 - x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $(1 - x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $(1 - x) \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 - x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

Schritt 5.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

Schritt 5.6.3

Schreibe $- 1 \ln (x)$ als $- \ln (x)$ um.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Schritt 6.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Schritt 6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Schritt 6.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Schritt 6.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ als $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ um.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.7

Um $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.8

Kombiniere $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.10

Faktorisiere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ aus $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ heraus.

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Schritt 6.10.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.10.2

Faktorisiere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ aus $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ heraus.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.10.3

Faktorisiere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ aus $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ heraus.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 6.11

Um $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 6.12

Kombiniere $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 6.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 6.14

Faktorisiere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ aus $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ heraus.

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Schritt 6.14.1

Faktorisiere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ aus $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ heraus.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

Schritt 6.14.2

Faktorisiere $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ aus $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ heraus.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

Schritt 6.15

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ um.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$