Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sqrt{10 x - 3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 x - 3}$ als ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 10 x - 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.3

Bringe ${(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 3] + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 10

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 12

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 13

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10 + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 14.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{10 \cdot x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 14.4

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{2})}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 x^{2})}{2 ({(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 x^{2})}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Schritt 17

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 18

Vereinige $\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 18.1

Bewege ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 18.2

Um $2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Multipliziere ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.1

Bewege ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x ({(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{1}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Vereinfache $2 x {(10 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x (10 x - 3)}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 2 x (10 x) + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 x^{2} + 2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x^{2} - 6 x}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2.2

Addiere $5 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$\frac{25 x^{2} - 6 x}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 21.3.1

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (25 x) - 6 x}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{x (25 x) + x \cdot - 6}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (25 x) + x \cdot - 6$ heraus.

$\frac{x (25 x - 6)}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$