Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \csc (x)$ und $g (x) = 1 - \csc (x)$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $1 + \csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $- \csc (x) \cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.4

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $- \csc (x) \cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5

Multipliziere $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 6.3.1.5.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $\csc^{2} (x) \cot (x)$ von $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)$ und $0$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Subtrahiere $\csc (x) \cot (x)$ von $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$