Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{7 x} + e^{- 7 x}}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{7 x} + e^{- 7 x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{7 x} + e^{- 7 x}] - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{7 x} + e^{- 7 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 x$ .

$\frac{x (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{x (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{7 x}$ .

$\frac{x (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 7 x$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 7 x$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \cdot - 7) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x}$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 \cdot e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{7 x e^{7 x} + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

Schritt 7.5

Stelle die Faktoren in $\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$ um.

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$