Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Schritt 7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

Schritt 8.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Schritt 8.6

Schreibe $- (x^{2} - 3)$ als $- 1 (x^{2} - 3)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$