Analysis Beispiele

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 - x^{- 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{- 1}$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{- 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{- 1}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.5

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere ${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von ${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ um.

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

Schritt 3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 1}{x}$ an.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$