Analysis Beispiele

$f (x) = x {(1 - 2 x)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

Schritt 3.9

Mutltipliziere ${(1 - 2 x)}^{3}$ mit $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere ${(1 - 2 x)}^{2}$ aus $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere ${(1 - 2 x)}^{2}$ aus $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ heraus.

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere ${(1 - 2 x)}^{2}$ aus ${(1 - 2 x)}^{3}$ heraus.

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere ${(1 - 2 x)}^{2}$ aus ${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ heraus.

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 6 x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

Schritt 4.3

Schreibe ${(1 - 2 x)}^{2}$ als $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ um.

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.4

Multipliziere $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 2 x$ mit $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Schritt 4.6

Multipliziere $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 8 x$ mit $1$ .

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.4.1

Bewege $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.8.1

Bewege $x$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.7.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.7.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 4.8

Subtrahiere $4 x$ von $- 8 x$ .

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 4.9

Addiere $32 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$