Analysis Beispiele

$x \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$x (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cdot 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$2 x \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Füge Klammern hinzu.

$2 x (\cos (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2.2

Stelle $2 x$ und $\cos (x) \sin (x)$ um.

$\cos (x) \sin (x) (2 x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2.3

Füge Klammern hinzu.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2.4

Stelle $\cos (x)$ und $\sin (x) \cdot 2$ um.

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) x + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2.5

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) x + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) x + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) x + \sin^{2} (x)$ um.

$x \sin (2 x) + \sin^{2} (x)$