Analysis Beispiele

$y = (3 x^{2} - 4 x + 1) (5 - 6 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ und $g (x) = 5 - 6 x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} [5 - 6 x^{2}] + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 6 (2 x)) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.11

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 + 0)$

Schritt 2.15

Addiere $6 x - 4$ und $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x) + (5 - 6 x^{2}) \cdot - 4$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + (5 - 6 x^{2}) \cdot - 4$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$- 36 x^{2} x - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 36 (x^{1} x^{2}) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 36 x^{1 + 2} - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$- 36 x^{3} - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$- 36 x^{3} + 48 x \cdot x + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 (x^{1} x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 36 x^{3} + 48 x^{1 + 1} + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.10

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.11

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.12

Mutltipliziere $6$ mit $- 6$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{2} x + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 (x^{1} x^{2}) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{1 + 2} + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.15

Addiere $1$ und $2$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.16

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} - 20 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Schritt 3.5.17

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} - 20 + 24 x^{2}$

Schritt 3.5.18

Addiere $- 12 x$ und $30 x$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} + 18 x - 36 x^{3} - 20 + 24 x^{2}$

Schritt 3.5.19

Subtrahiere $36 x^{3}$ von $- 36 x^{3}$ .

$- 72 x^{3} + 48 x^{2} + 18 x - 20 + 24 x^{2}$

Schritt 3.5.20

Addiere $48 x^{2}$ und $24 x^{2}$ .

$- 72 x^{3} + 72 x^{2} + 18 x - 20$