Analysis Beispiele

$y = (2 x^{3} + 8) (3 x^{7} - 9)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x^{3} + 8$ und $g (x) = 3 x^{7} - 9$ .

$(2 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 9] + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{7} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$(2 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{7}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(2 x^{3} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$(2 x^{3} + 8) (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6} + 0) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $21 x^{6}$ und $0$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6}) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.6.2

Bringe $21$ auf die linke Seite von $2 x^{3} + 8$ .

$21 \cdot (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2} + 0)$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2})$

Schritt 2.12.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $3 x^{7} - 9$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + 6 \cdot (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(21 (2 x^{3}) + 21 \cdot 8) x^{6} + 6 (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + (6 (3 x^{7}) + 6 \cdot - 9) x^{2}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $21$ .

$42 x^{3} x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1

Bewege $x^{6}$ .

$42 (x^{6} x^{3}) + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$42 x^{6 + 3} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.2.3

Addiere $6$ und $3$ .

$42 x^{9} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $21$ mit $8$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{7} x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $x^{7}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 (x^{2} x^{7}) + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{2 + 7} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.5.3

Addiere $2$ und $7$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{9} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{9} - 54 x^{2}$

Schritt 3.5.7

Addiere $42 x^{9}$ und $18 x^{9}$ .

$60 x^{9} + 168 x^{6} - 54 x^{2}$