Analysis Beispiele

$y = {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ und $3$ .

$\frac{(2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x) \cdot 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

Schritt 3.8.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ an.

$\frac{3 (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2} x) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Vereine die Terme

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Schritt 4.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 (2 x^{3}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{3} + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 3 (- 2 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.9

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.13

Subtrahiere $6 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x + 0 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.14

Addiere $- 6 x$ und $0$ .

$\frac{- 6 x - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.15

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.17

Mutltipliziere $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ mit $\frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.18

Multipliziere ${(x^{2} - 1)}^{2}$ mit ${(x^{2} - 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.18.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2 + 2}}$

Schritt 4.7.18.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 4.7.19

Bringe $12$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Schritt 4.8.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Schritt 4.8.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 4.9

Stelle die Faktoren in $- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$ um.

$- \frac{12 x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$