Analysis Beispiele

$y = (\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc (x) + \cot (x)$ und $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)] + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\csc (x) - \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Schritt 6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\csc (x) + \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 7

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Multipliziere $(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \csc (x) \cot (x) (\csc (x) + \cot (x)) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1.1

Multipliziere $- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.1.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.2

Multipliziere $- \csc (x) \cot (x) \cot (x)$ .

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Schritt 9.2.2.1.2.1

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.2.2

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.3

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc (x)$ .

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Schritt 9.2.2.1.3.1.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc^{1} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + {\csc (x)}^{2 + 1} + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.1.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ und $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.2.3

Subtrahiere $\csc (x) \cot^{2} (x)$ von $0$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$ heraus.

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc (x) \cot^{2} (x)$ heraus.

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.3.2

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc^{3} (x)$ heraus.

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.3.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x)$ heraus.

$\csc (x) (- \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.4

Stelle $- \cot^{2} (x)$ und $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\csc (x) \cdot 1 + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.7

Multipliziere $(- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) (\csc (x) - \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 9.2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.8.1.1

Multipliziere $- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ .

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Schritt 9.2.8.1.1.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.1.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.2

Multipliziere $- \csc (x) \cot (x) (- \cot (x))$ .

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Schritt 9.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.2.3

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.2.4

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.3

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.8.1.3.1

Bewege $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.3.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ .

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Schritt 9.2.8.1.3.2.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Schritt 9.2.8.1.4

Multipliziere $- \csc^{2} (x) (- \cot (x))$ .

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Schritt 9.2.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + 1 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 9.2.8.1.4.2

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 9.2.8.2

Addiere $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ und $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) + 0 + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Schritt 9.2.8.3

Addiere $0$ und $\csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Schritt 9.2.9

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$ heraus.

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Schritt 9.2.9.1

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) \cot^{2} (x)$ heraus.

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) - \csc^{3} (x)$

Schritt 9.2.9.2

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $- \csc^{3} (x)$ heraus.

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Schritt 9.2.9.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ heraus.

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x) - \csc^{2} (x))$

Schritt 9.2.10

Stelle $\cot^{2} (x)$ und $- \csc^{2} (x)$ um.

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))$

Schritt 9.2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))$

Schritt 9.2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $\cot^{2} (x)$ heraus.

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))$

Schritt 9.2.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ heraus.

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))$

Schritt 9.2.14

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\csc (x) + \csc (x) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 9.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cdot - 1$

Schritt 9.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\csc (x)$ .

$\csc (x) - 1 \cdot \csc (x)$

Schritt 9.2.17

Schreibe $- 1 \csc (x)$ als $- \csc (x)$ um.

$\csc (x) - \csc (x)$

Schritt 9.3

Subtrahiere $\csc (x)$ von $\csc (x)$ .

$0$