Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{x}{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$\frac{1}{3 (1 + \frac{x^{2}}{3^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3 \cdot 1 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{9}}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{9}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{9}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3 + \frac{3 (x^{2})}{9}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 + \frac{x^{2}}{3}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 3 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 9}{3}}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{3}{x^{2} + 9}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{2} + 9}$ mit $1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 9}$